1 . 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

2 . 一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持．

（1）当点Q运动到B点时，求OP的长；
（2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度．

3 . 如图所示，在梯形中，，，，.

（1）求的值；
（2）若，求的长.

4 . 如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.

（1）当，求四边形的面积；
（2）当为何值时，线段最长并求最长值.