1 . 已知无穷数列的各项均为整数．设数列的前项和为，记中奇数的个数为．
(1)若，试写出数列的前5项；
(2)证明：“为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件；
(3)若（为正整数），求数列的通项公式．

2 . 已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.

3 . 若无穷数列满足：，且对任意正整数，都为中等于的项的个数，则称数列为“数列”.
（1）请列举出三个数列，每个数列只写出其前5项；
（2）若数列为一个数列，证明：，都有；
（3）若数列为一个数列，求集合中元素个数的最大值.

4 . 已知数列满足：，.
(1)求；
(2)证明：；
(3)是否存在正实数，使得对任意的，都有，并说明理由．