1 . 如图，已知棱长均为1的正三棱柱顶点处有一机器蚂蚁，机器蚂蚁每次随机等可能地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若机器蚂蚁初始位置位于底面的某一顶点．

(1)求机器蚂蚁移动2次后仍在底面上的概率；
(2)求机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率．

2 . 已知数列的通项公式为，，记.
（1）求，的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

3 . 一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a₀，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为a_n．
（1）当k=3，a₀=12时，分别求a₁，a₂，a₃；
（2）请用a_n-1表示a_n；令b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a₀，使得数列{a_n}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a₀，如果不存在，请说明理由．

4 . 已知数列的通项公式为，，记．
（1）求，的值；
（2）求证：对任意正整数为定值．

5 . 设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．
求：（1）集合的“和谐子集”的个数；
（2）集合的“和谐子集”的个数．

6 . 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求恰好得到分的概率.

7 . 对任意函数，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端再输出,并且依此规律继续下去.现定义.
（1）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的
取值范围.