1 . 圆.
(1)若圆与轴相切，求圆的方程；
(2)求证：不论为何值，圆必过两定点；
(3)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）.过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆：的离心率为，且过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆：相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆与轴的正半轴交于点.已知直线斜率存在且不为0，与椭圆交于，两点，满足(为坐标原点)，证明：直线过定点.

3 . 在中，两直角边AB，AC的长分别为m，n（其中），以BC的中点O为圆心，作半径为r（）的圆O．

（1）若圆O与的三边共有4个交点，求r的取值范围；
（2）设圆O与边BC交于P，Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为：连接AP，AQ，AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为；以O为原点建立合适的直角坐标系，利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论，定值用含m、n的式子表示.（若用两种方法，按第一种方法给分）