1 . 已知A，B为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线C的左，右焦点．下列命题中正确的是（       ）

A．若R为双曲线C上一点，且，则

B．到双曲线C的渐近线的距离为

C．若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线的斜率之积为2

D．双曲线C上存在不同两点关于点对称

2 . 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；
(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．

3 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（       ）

A．直线与的斜率之积为4

B．若，则

C．以为直径的圆与圆相切

D．若，则点坐标为

4 . 已知双曲线C：的中心为O，离心率，点A在x轴上，，点P是C上一定点，P到x轴的距离为1，且．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求C上任一点和A的距离的最小值；
(3)若C上的点M，N满足，求证：在C上存在定点Q（异于P）使得P，M，N，Q在同一个圆上．

5 . 双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（       ）

A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为

B．双曲线C的离心率为

C．直线与的斜率之积为

D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

6 . 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．

7 . 已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：是定值.

8 . 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线的方程为

B．过点且垂直于的直线平分

C．若，则

D．若，则

9 . 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．

10 . 已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则__________.