1 . 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点
①求证：；
②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.

2 . 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若、分别是曲线与轴正、负半轴的交点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

4 . 设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：、两点的横坐标之差为定值．

5 . 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.点在曲线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点).
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线恒过定点.