1 . 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________.

       

2 . 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．

3 . 已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．

6 . 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C上一点.下列说法中正确的有________ .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上满足的点有两个； ④.的最大值为.

7 . 已知圆和圆，过点P（x，y）分别作的切线PA，PB，其中A，B为切点，且，则动点P的轨迹方程为___________．

8 . 设，过定点M的直线与过定点N的直线相交于点P，线段AB是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：
①一定垂直
②的最大值为4
③点P的轨迹方程为
④的最小值为
其中所有正确结论的序号是____.

9 . 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足（为坐标原点），则的最小值是______.

10 . 已知点、关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过、两点，且与直线相切.若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为_______.