1 . 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足，作交于点M，求的最大值．

2 . 已知椭圆的离心率为．且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点M到原点的距离为，过点M的直线，与椭圆C均仅有一个公共点，分别记为A，B，求面积的最大值．

3 . 如图，从椭圆()上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP，.其中F₂为椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程E；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D且OC⊥OD？若存在，写出该圆方程，并求CD的取值范围；若不存在，说明理由.

4 . 在平面直角坐标系内，一动圆与圆外切，同时与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设该轨迹与曲线的交点为、，求面积的最大值.

5 . 已知椭圆的离心率为，其右焦点是圆的圆心．
（1）求椭圆的方程；
（2）过所求椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴、两点，当时，求此时点的坐标．

6 . 已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.

7 . 如图，已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，，，．

（Ⅰ）求证：为定值，并求出动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过的斜率不为零直线交曲线于、两点，求证：为定值．

8 . 已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：为定值．

9 . 已知两点A（0，﹣1），B（0，1），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积是，记点P轨迹为C.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线l与曲线C交于M，N两点，若|AM|＝|AN|，求直线l的斜率k的取值范围.

10 . 已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．