【推荐1】如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（1）求椭圆的方程；
（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

【推荐2】已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线与椭圆C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)圆F过O，B，交l于点M，N，直线，分别交椭圆C于另一点P，Q．
①求的值；
②证明：直线过定点，并求出定点坐标．

【推荐3】椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为，过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程和圆的半径.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，记椭圆的上下顶点分别为A和B，直线AM交椭圆于A，P两点，直线BM交椭圆于B，Q两点，记和的面积分别为和，当时，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线交轴，轴于两点．
(1)求满足的关系式；
(2)当点运动时，求点的轨迹的方程；
(3)若轨迹与直线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，直线l与椭圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求面积的最大值；
(3)设是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义.用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出命题的证明.

【推荐2】如图，圆， 是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E

（1）求曲线E的方程；
（2）过点D(0，3)作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足 (O为原点)，求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；
（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y=2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左、右顶点分别为、，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，且满足，求的面积最大值.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上.

【推荐2】已知椭圆C的中心在坐标原点，若椭圆C焦点在轴上，焦距为，且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：的右焦点为，，直线：．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点．

（1）求椭圆的标准方程：
（2）若，求直线的方程：
（3）是否存在实数，使得恒成立?若存在，求实数的值：若不存在，请说明理由．