1 . 已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求直线和椭圆C的公共点的坐标．

2 . 已知椭圆的左焦点为，点在上．

(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．

3 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.

4 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

5 . 已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的长轴长为，且过点
(1)求的方程：
(2)设直线交轴于点，交C于不同两点，，点与关于原点对称，，为垂足.问：是否存在定点，使得为定值？

7 . 设椭圆：（）的长轴长为， 是椭圆的右端点，，分别是椭圆的任意两点，且离心率，
(1)求椭圆的方程；
(2)若（是坐标原点），求直线的斜率

8 . 已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，椭圆C另一个焦点是F₁，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点，且与椭圆C交于P，Q两点，求的内切圆面积的最大值.

9 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）已知椭圆的中心在原点，，经过点，焦点在x轴上，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，过点，和，求椭圆的标准方程.

10 . 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；
（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点的椭圆的方程．