1 . 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．

（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，__________；
（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为__________．

2 . 如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为______．

3 . 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．

4 . ①已知椭圆的左焦点为，右顶点，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为____________；
②设分别为椭圆的左顶点，上顶点和右焦点，若，则该椭圆离心率为____________；
③已知是椭圆的两个焦点，满足的点，总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是____________；
④若椭圆和圆，（其中为椭圆的半焦距），有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围是____________.