1 . 已知椭圆的离心率为，直线截椭圆所得的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轴交于点为粗圆上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线上），直线、分别交椭圆于两点，直线分别交直线于两点.
①设，试用表示的坐标；
②求证：为线段的中点.

2 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标．

3 . 已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.

4 . 已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．

5 . 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程：
(2)圆，点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．
①求证：直线恒过x轴上一定点；
②设和的面积分别为，求的最大值．