1 . 17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律：
(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；
(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.
(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.
开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，
，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于
，地球的公转轨道可近似看成圆
，火星的公转轨道可近似看成圆
，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与
均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.
(1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：
，计算结果保留两位小数)
(2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在
上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得
为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆
，使得直线AB恒与相切？证明你的结论.
(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；
(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.
(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.
开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，
，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示. (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：
，计算结果保留两位小数)(2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在
上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论.
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2023高三·全国·专题练习
2 . 已知椭圆C：
上、下顶点分别为
，且短轴长为
，T为椭圆上（除外）任意一点，直线
的斜率之积为
，
，
分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点
发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
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21-22高二上·吉林通化·阶段练习
3 . 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点
现有一椭圆
，长轴长为
，从一个焦点
发出的一条光线经椭圆内壁上一点
反射之后恰好与
轴垂直，且
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知
为该椭圆的左顶点，若斜率为
且不经过点的直线
与椭圆交于
，
两点，记直线
，
的斜率分别为
，且满足
．
①证明：直线过定点；
②若
，求的值．
现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知
为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．①证明：直线
过定点；②若
，求的值．
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2021-12-19更新
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2490次组卷
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6卷引用：专题25 欧几里得
（已下线）专题25 欧几里得（已下线）专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点1 椭圆的光学性质及其应用（已下线）专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题-2天津市第一中学2023届高三下学期第五次月考数学试题（已下线）重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）-1吉林省通化市辉南县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
名校
解题方法
4 . 已知椭圆
的上顶点为，
是椭圆
上的一点，以
为直径的圆经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，
两点，在直线
上是否存在一点
，使得
为等边三角形？若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.
的上顶点为，是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.（1）求椭圆
的方程；（2）过椭圆
右焦点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在直线上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.
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2020-08-07更新
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1025次组卷
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3卷引用：湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三下学期6月联考数学(文)试题
5 . 已知椭圆E的左右焦点分别是
、
，且经过点
.
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）设AC，BD是过椭圆E的中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆?若存在，求圆G的方程，若不存在，请说明理由.
、，且经过点.（1）求椭圆E的标准方程：
（2）设AC，BD是过椭圆E的中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆?若存在，求圆G的方程，若不存在，请说明理由.
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2020-07-21更新
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626次组卷
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2卷引用：四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟（三）文试题
名校
解题方法
6 . 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”．已知椭圆
上的点
的下辅助点为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
的面积等于
，求下辅助点的坐标．
作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”．已知椭圆上的点的下辅助点为．（1）求椭圆
的方程；（2）若
的面积等于，求下辅助点的坐标．
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2020-07-17更新
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313次组卷
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3卷引用：江苏省连云港市赣榆区2020届高三（6月份）高考数学仿真训练试题
江苏省连云港市赣榆区2020届高三（6月份）高考数学仿真训练试题（已下线）专题18 直线与椭圆的位置关系-2020年高考数学母题题源解密（江苏专版）吉林省长春市吉大附中实验学校2023届高三适应性测试（一）数学试题
7 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，动点在椭圆上，
的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆的另一个交点为
，过
分别作直线
的垂线，垂足为
与轴的交点为
．若四边形
的面积是
面积的3倍，求直线斜率的取值范围．
的左、右焦点分别为，离心率为，动点在椭圆上，的周长为6．（1）求椭圆
的方程；（2）设直线
与椭圆的另一个交点为，过分别作直线的垂线，垂足为与轴的交点为．若四边形的面积是面积的3倍，求直线斜率的取值范围．
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2019-05-28更新
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1104次组卷
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2卷引用：【市级联考】山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学（文）试题
8 . 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为
，点在椭圆上，且的面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于不同的两点
，若在轴上存在点
得
，求实数
的取值范围.
的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆
的方程；（2）已知直线
与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点得，求实数的取值范围.
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2019-05-22更新
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1714次组卷
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7卷引用：【校级联考】江西省新八校2019届高三第二次联考文科数学试题1
【校级联考】江西省新八校2019届高三第二次联考文科数学试题1【校级联考】江西省新八校2019届高三第二次联考文科数学试题2新疆乌鲁木齐市第八中学2019-2020学年高三第一次月考数学（理）试题（已下线）专题13 解析几何中的范围、最值和探索性问题 第一篇 热点、难点突破篇（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）江西省宜丰县宜丰中学2024届高三上学期10月月考数学试题广西壮族自治区南宁市第三中学2019-2020学年高二12月月考数学（文）试题广西壮族自治区南宁市第三中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题
9 . 已知椭圆：
的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为
，过椭圆的右焦点作斜率为（
）的直线与椭圆相交于、两点，线段
的中点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点垂直于的直线与轴交于点
，求的值．
：的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．（1）求椭圆
的标准方程；（2）过点
垂直于的直线与轴交于点，求的值．
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2017-09-28更新
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1289次组卷
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2卷引用：广西2017届高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（文）试题
10 . 如图，过椭圆：
的左右焦点分别作直线
，
交椭圆于与
，且
.
（1）求证：当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时，
为定值；
（2）求四边形
面积的最大值.
：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.（1）求证：当直线
的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；（2）求四边形
面积的最大值.
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2017-04-13更新
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1593次组卷
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3卷引用：2017届广西桂林市、崇左市、百色市高三下学期第一次联合模拟（一模）考试理数试卷
