1 . 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点
现有一椭圆
,长轴长为
,从一个焦点
发出的一条光线经椭圆内壁上一点
反射之后恰好与
轴垂直,且
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)已知
为该椭圆的左顶点,若斜率为
且不经过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点,记直线
,
的斜率分别为
,且满足
.
①证明:直线
过定点;
②若
,求
的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad523e69a1bf925e73a22900b9855df2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8860d9787671b53b1ab68b3d526f5ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bca20564a958c33a73efc452446a3669.png)
(1)求椭圆
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
(2)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
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①证明:直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e819674daea2109624a6f9858fdc604b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
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2021-12-19更新
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2526次组卷
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7卷引用:吉林省通化市辉南县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
吉林省通化市辉南县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题(已下线)专题25 欧几里得(已下线)专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点1 椭圆的光学性质及其应用(已下线)专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题-2天津市第一中学2023届高三下学期第五次月考数学试题(已下线)重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题(六大题型)-1湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性考试数学试题
名校
2 . 已知椭圆
焦点为
且过点
,椭圆上一点
到两焦点
,
的距离之差为2,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求
的面积.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a09a8ac969e5cec3be6abf4ff44c692e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce6758b8b074d33ea9e82818593656e1.png)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a9df1061c3ba5151ba2f7359acaf356.png)
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2019-10-09更新
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2640次组卷
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12卷引用:吉林省长春市农安县五校联考2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)A卷试题
吉林省长春市农安县五校联考2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)A卷试题(已下线)2.2 椭圆(基础练)-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编(人教A版选修2-1)福建省连城县第一中学2021-2022学年高二10月第一次月考数学试题(已下线)专题17 圆锥曲线常考题型05——圆锥曲线中的存在性问题与面积问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练(人教A版2019选择性必修第一册)广西桂林市第十八中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题宁夏银川市景博中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题内蒙古乌兰察布市集宁区集宁一中(西校区)2019-2020学年高二上学期12月月考数学(理)试题安徽省蚌埠市怀远县第一中学2020-2021学年高二上学期第三次月考文科数学试题甘肃省临夏回族自治州广河县三甲集中学2019-2020学年高二上学期期末数学理试题宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题内蒙古海拉尔第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(宏志班)
名校
解题方法
3 . 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点
上,卡门位于另一个焦点
上.由椭圆一个焦点
发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点
.已知此椭圆的离心率为
,且
,则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/7/2889249498087424/2928794753146880/STEM/1efc0114-0ca1-4d61-8149-300f44dd9028.png?resizew=174)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b696b79a748797ef1e56fa31ee9a450d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/016207ee3b0089ad8df5d87921ae043b.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/7/2889249498087424/2928794753146880/STEM/1efc0114-0ca1-4d61-8149-300f44dd9028.png?resizew=174)
A.9cm | B.10cm | C.14cm | D.18cm |
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2022-03-04更新
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741次组卷
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5卷引用:吉林省松原市长岭县第三中学2021-2022学年高二上学期第三次考试数学试题
吉林省松原市长岭县第三中学2021-2022学年高二上学期第三次考试数学试题北京市第 八十中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(已下线)3.1.2 椭圆的几何性质(2)(已下线)专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
4 . 某海面上有A,B两个观测点,点B在点A正东方向4 n mile处.经多年观察研究,发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A,B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A,点B距离之和为8 n mile处.在点A,B,P所在的平面内,以A,B所在的直线为
轴,线段
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆C的方程;
(2)某日,研究人员在A,B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中,信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计),A,B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为
,试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
(1)求椭圆C的方程;
(2)某日,研究人员在A,B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中,信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计),A,B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0217235a57aebe61c7b16ca81096c21d.png)
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2021-11-09更新
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628次组卷
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12卷引用:吉林省长春市第二中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
吉林省长春市第二中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第3章 第一节 课时2 椭圆的几何性质北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第二章 第一节 课时2 椭圆的简单几何性质苏教版(2019) 选修第一册 一蹴而就 第3章 3.1.2 椭圆的几何性质(已下线)3.1 椭圆-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典(人教A版2019选择性必修第一册)2023版 北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第二章 第一节 课时2 椭圆的简单几何性质2023版 苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第3章 第一节 课时2 椭圆的几何性质(已下线)3.1.2 椭圆的几何性质(2)(已下线)专题3.4 椭圆的简单几何性质-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)3.1.2 椭圆的几何性质(三)(同步练习基础版)3.1.2 椭圆的简单几何性质练习江西省金溪一中、广昌一中、南丰一中2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
5 . 光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出,如图①,一个光学装置由有公共焦点
、
的椭圆
与双曲线
构成,现一光线从左焦点
发出,依次经
与
反射,又回到了点
,历时
秒;若将装置中的
去掉,如图②,此光线从点
发出,经
两次反射后又回到了点
,历时
秒;若
,则
与
的离心率之比为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/2/24/2664966749290496/2667168902496256/STEM/39605e41-0957-4d03-ad04-cb511c40607b.png?resizew=433)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b454cdb97c408300b50d945f002c2cb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cb9ad1e34877b0db02d0219332b0f7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cb9ad1e34877b0db02d0219332b0f7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b454cdb97c408300b50d945f002c2cb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87c7eb49a823f757461cd5260757b088.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cb9ad1e34877b0db02d0219332b0f7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b454cdb97c408300b50d945f002c2cb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5cd84a8f95166367063218ee03ffd5a7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6bb476972073bce8a2e5e46d655e2133.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b454cdb97c408300b50d945f002c2cb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cb9ad1e34877b0db02d0219332b0f7b.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/2/24/2664966749290496/2667168902496256/STEM/39605e41-0957-4d03-ad04-cb511c40607b.png?resizew=433)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2021-02-27更新
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618次组卷
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4卷引用:吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第二学程考试数学试题
吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第二学程考试数学试题安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题(已下线)专题04 圆锥曲线(难点)-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习(北师大版2019选择性必修第一册、第二册)(已下线)期中测试卷02(B卷·提升能力)-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(苏教版2019选择性必修第一册)【学科网名师堂】
名校
6 . 某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米.要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状(如图).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/17/29596cfc-33ee-4401-90a9-5c23bbdae9f5.png?resizew=237)
(1)若最大拱高
为6米,则隧道设计的拱宽
是多少米?
(2)若最大拱高
不小于6米,则应如何设计拱高
和拱宽
,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小,并求出最小土方量?(已知:椭圆
的面积公式为
,本题结果拱高
和拱宽
精确到0.01米,土方量精确到1米3)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/17/29596cfc-33ee-4401-90a9-5c23bbdae9f5.png?resizew=237)
(1)若最大拱高
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
(2)若最大拱高
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7dd54b9df3402ad91e2d34c40efe0c7a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/75f7b8963e6121ed76aca58a33796d20.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
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2019-11-15更新
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454次组卷
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3卷引用:吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第二学程考试数学试题
吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第二学程考试数学试题(已下线)专题3.5 简单几何体【易错题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习(沪教版)上海市宜川中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题