1 . 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点，直线与交于点.
①求直线的方程；
②记的面积分别为，求的最大值.

3 . 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.

5 . 已知椭圆E：（）的焦距为，且经过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：（）与椭圆E交于A、B两点，且是直角，求实数t的取值范围.

6 . 已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.
（2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.
（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.

7 . 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是_________.