1 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作椭圆的切线，交直线于点.
（i）求证：以为直径的圆过定点；
（ii）求三角形面积的最小值.

3 . 设椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，已知椭圆的短轴长为，面积的最大值为.
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过的直线与椭圆交于、两点，连接，并延长分别交直线于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由.

4 . 设椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，O为原点.
（1）若，求椭圆离心率；
（2）若椭圆的右顶点为A，短轴长为2，且满足.
①求椭圆的方程；
②设直线与椭圆交与P，Q两点，若的面积为1，求k值.

5 . 已知椭圆：的上顶点为，左，右焦点分别为，，的面积为，直线的斜率为.为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.，且，求直线的方程.

6 . 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.