1 . 已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.

3 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于A，B两点，且．
(1)求粗圆的方程；
(2)为坐标原点，若直线与椭圆交于M，N两点，直线OM的斜率为，直线ON的斜率为，当时，面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4 . 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

   

(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值.

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，过左焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于D，E两点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，和的面积分别为，，若，求的最大值．

6 . 已知椭圆：（）的焦距与短轴长相等，左右焦点分别为，，且为抛物线：的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，为椭圆上两点，且都在轴上方，满足．若直线与抛物线没有交点，求四边形的面积的取值范围．

7 . 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.

8 . 已知，为椭圆的左、右顶点，，为左、右焦点，离心率，为椭圆上的动点，当时，的面积为．
(1)求的方程；
(2)若，为椭圆上异于的点，直线，均与圆相切，记直线，的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线经过点，交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的值.

10 . 已知椭圆E的中心为坐标原点，左焦点为，长轴长为8．
(1)求E的标准方程；
(2)记E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于M，N两点（M，N均不与A，B重合），直线MA与NB交于点P，试探究点P是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.