1 . 已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆的左焦点

（1）求椭圆的方程；
（2），是否存在斜率为的直线l与椭圆相交于两点M，N，且，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

3 . 椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆的两条斜率存在的切线分别与椭圆交于点，求的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率为，是椭圆上位于第三象限内的一点，点满足.过点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点.

（Ⅰ）若点的坐标为
（i）求椭圆的方程；
（ii）求面积；（用含的代数式表示）
（Ⅱ）若满足，求直线，的斜率之积.

5 . 已知椭圆，其长轴为4，短轴为2．
（1）求椭圆C的方程及离心率．
（2）直线l经过定点(1,0)，且与椭圆C交于两点，求面积的最大值．

6 . 已知椭圆过点，焦距为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条直线，且，切椭圆C于M，交椭圆C于A，B不同两点，求的取值范围.

7 . 已知椭圆：的长轴长为4，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两个不同的点，且，为坐标原点，问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出实数，若不存在，请说明理由.

8 . 如图：已知抛物线：与椭圆：有相同焦点，为抛物线与椭圆在第一象限的公共点，且，过焦点的直线交抛物线于，两点､交椭圆于，两点，直线，与抛物线分别相切于，两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积的最小值.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于x轴，连结并延长交椭圆于另一点Q，设．

（1）若点P的坐标为，求椭圆C的方程；
（2）若，求椭圆C的离心率e的取值范围．

10 . 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，设点的坐标是.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.