1 . 已知椭圆E：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积．

2 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
(2)经过 两点．

3 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，；
(2)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
(3)经过，两点．

4 . 已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．

5 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

6 . 已知椭圆经过点， 是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且，求点P的纵坐标的取值范围.

7 . 已知椭圆E的方程为，过点且离心率为
(1)求椭圆E的方程；
(2)点A是椭圆E与x轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆E于B、C两点，且直线，的斜率分别是，，若，
①证明直线l过定点R；
②求面积的最大值．

8 . 已知椭圆C经过，两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设，为椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且，求的面积．

9 . （1）求经过两点和的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有公共的渐近线，且焦距为8的双曲线的标准方程．

10 . 在①离心率，②椭圆E过点，③M在椭圆上，且面积的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，并解决下面两个问题．
设椭圆的左右焦点分别为，下顶点为A．已知椭圆E的短轴长为，__________．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l于椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，且直线与的斜率之和等于2，问直线是否经过某一定点？如果经过定点，请求出该定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由．