1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值．

2 . 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，，点M是椭圆C上一点，且M不在坐标轴上.若直线与直线交于点，直线与直线交于点.试判断的形状，并说明理由.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆过点，且轴，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，菱形内接于椭圆，菱形中心在坐标原点，求菱形面积的最小值.

4 . 已知椭圆E：，已知椭圆过点M，.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线l：交E于点A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于Q点. 试探究是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．

5 . 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．

7 . 设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，求值，并求出弦长|MN|；
(3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围．

8 . 椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．

9 . 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.
(1)当面积最大时，求的方程；
(2)求证：.

10 . 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为为椭圆上一点，与轴交于点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，过作与轴垂直的直线，试问轴上是否存在定点，使得直线与直线交点的横坐标为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.