1 . 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．

2 . 已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．

3 . 已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

5 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

6 . 已知双曲线的左顶点为，点在渐近线上，过点的直线交双曲线的右支于两点，直线分别交直线于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：为的中点.

7 . 已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线交于两点.
（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；
（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）

8 . 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

9 . 已知双曲线的左右顶点分别为，，且点到的渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)异于，的两点，在上，若直线在轴上的截距是直线在轴上截距的2倍，证明：直线过定点，并求出定点坐标.