1 . 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点一条渐近线方程为.
(1)求的方程:
(2)若过的上焦点的直线与交于A，B两点.求证:以AB为直径的圆过定点.并求该定点.

2 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

3 . 已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.

4 . 已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求C的标准方程；
(2)若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．