1 . 如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上.

（1）求的值；
（2）求的最大值.

2 . 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线，垂足为.
（1）若直线过焦点，是抛物线上的动点，点，求的最小值；
（2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3 . 抛物线Q：，焦点为F．
若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值；
过F的两条直线，，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N分别是线段AB、CD的中点，若，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标．