1 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过椭圆左焦点的直线交于，两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

2 . 在直角坐标系中，动点（其中）到点的距离的倍与点到直线的距离的倍之和记为，且.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.

3 . 已知椭圆方程为，其右焦点与抛物线的焦点重合，过且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与(1)中椭圆相交于,两点, 直线, ,的斜率分别为,, (其中)，且,,成等比数列；设的面积为, 以、为直径的圆的面积分别为, , 求的取值范围.

4 . 设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为，设，证明：直线过定点，并求面积的最大值．

5 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为，离心率为，直线：与椭圆交于，四边形的面积为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）作与平行的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.

6 . 已知椭圆过点, 离心率为,左右焦点分别为, 过点的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积为时, 求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

7 . 已知椭圆的右焦点与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由．

8 . 已知椭圆 ，长轴长为6，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆在轴正半轴上的焦点为M，点A、B在椭圆上，且, 求线段AB所在直线方程.

9 . 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点O的直线，与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为，满足，求的值.

10 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.