1 . 已知，是椭圆的左右焦点，离心率为，直线过右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

2 . 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求k的值；
(3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆E上，A为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆E的另外一个交点为P，线段PA的中点为M.
(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
(2)若，求三角形OPM的面积.

4 . 已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.

5 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（）求椭圆的方程．
（）设点为坐标原点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

6 . 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.

7 . 设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.