1 . 已知椭圆的左、右两个焦点分别是F₁，F₂，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF₂⊥F₁F₂，|MF₁|＝3|MF₂|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明为定值，并求出该定值.

2 . 已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.

3 . 在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程：
（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.

4 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．

5 . 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上任意一点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作直线与椭圆交于，两点，点，请问的值分别表示直线与直线的斜率)是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

6 . 已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆经过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，点满足，过点且垂直于的直线过，求实数的值.

8 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.

9 . 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与椭圆的两个交点，则___________.

10 . 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．

（I）求椭圆E的方程；

(II)若，求的取值范围．