1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的面积；
(3)求直线与直线的交点的轨迹方程.

2 . 已知椭圆C：（）的焦距为，且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点，求（O为原点）面积的最大值.

3 . 如图，已知椭圆，，分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点，离心率为．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线上有两个点，，且．
①求面积的最小值；
②连接交椭圆于另一点（不同于点），证明：、、三点共线．

4 . 已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．

5 . 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当的面积为时，求的值．

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴是圆的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点为椭圆C上一点，过点的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．

8 . 已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.

9 . 已知椭圆的右焦点为，过点的直线（不与轴垂直）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为.
（1）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线过定点，并求点的坐标.

10 . 已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.