1 . 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.
   
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.

2 . 已知点F是椭圆C：的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求直线l的方程；
(3)若直线l上存在点P满足，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上，并求出该直线的方程．

3 . 已知椭圆的长轴长为是坐标原点，分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且的内切圆半径为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且直线的斜率之和为.
①求直线经过的定点的坐标；
②求的面积的最大值.

4 . 过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于A､B两点.
(1)若M是线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)若直线AB的斜率为2，求线段AB的长.

5 . 如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．

(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．

6 . 已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．
(1)求的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．

7 . 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线l：与x轴相交于点H．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

8 . 已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．
(1)求椭圆W的方程；
(2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．

9 . 已知椭圆经过点且离心率为
(1)求椭圆的方程
(2)过点的直线与椭圆相交于、两点，为椭圆的左焦点，记的面积为，求的取值范围．

10 . ①过且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，面积最大值为.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
设椭圆左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，短轴长为，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与C交于不同的两点M，N，若，试求内切圆的面积.