1 . 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．

2 . 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
(1)求的周长.
(2)求的长.

3 . 已知椭圆C的焦点为F₁（0，-2）和F₂（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.

4 . 已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．

5 . 椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.

6 . 已知椭圆方程，点为椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，且.
(1)求椭圆的方程：
(2)过点的直线交椭圆C于，两点，当，求的面积的值.

8 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.

9 . 设椭圆的离心率，过点A.
(1)求椭圆的方程；
(2)求椭圆C被直线截得的弦长.

10 . 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.

(1)证明：以为直径的圆经过点；
(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.