1 . 已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值．

2 . 设椭圆C：的焦点为，，右顶点为M，过点斜率为k（）的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形的周长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆C：（）的上顶点与右焦点连线的斜率为，C的短轴的两个端点与左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)已知点，若斜率为k（）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当直线AP，BP的倾斜角互补时，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

4 . 已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轨迹交于两点，若以为直径的圆经过定点，求证:直线经过定点，并求出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求面积的最大值.

5 . 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l₁，l₂与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l₁的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.

6 . 已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，过的直线与交于两点.
（1）设和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）当直线绕点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数.

7 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

8 . 已知椭圆的一个短轴的端点到一个焦点的距离为2.
（1）求的方程；
（2）设是在第一象限内的一点，点关于轴､坐标原点的对称点分别为､，垂直于轴，垂足为，直线与轴､分别交于点､，直线交于点.
（i）求直线的斜率的最小值；
（ii）直线交直线于点，证明：轴.

9 . 已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆：的上顶点为､右顶点为，为坐标原点，的面积为1，直线被椭圆所截得的线段的长度为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M作两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于不同两点，，求证直线过定点，并求出定点坐标.