1 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线不过点且与椭圆交于、两点，直线、的斜率分别为、，则，证明：直线过定点.

2 . 设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，直线：与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点.若，求证：直线经过定点.

3 . 已知，是椭圆的左、右焦点，点是上一点，的中点在轴上，为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；
(2)过点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，设直线BC的斜率为，证明：为定值，并求的值．

4 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．

5 . 已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.

(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.

6 . 如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍．

(1)求椭圆的方程；
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值．

7 . 已知抛物线与椭圆（）有公共的焦点，的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程
(2)如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，（点在椭圆左顶点的左侧），且与互补，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 设椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．

9 . 已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆，设圆A与椭圆C交于点E，F.
(1)求的最小值，并求此时圆A的方程；
(2)设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明：为定值.

10 . 已知点P与定点的距离和它到定直线的距离比是．
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．