1 . 双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．

2 . 双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.

3 . 已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.
①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线恒过定点.

4 . 已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由．

5 . 已知分别是双曲线C：的左、右焦点，点P是双曲线上一点，满足且．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l交双曲线于A，B两点，若的中点恰为点，求直线l的方程．