2023·广东深圳·二模
解题方法
1 . 中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为
.若点
位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求
面积的最小值.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值.
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名校
解题方法
2 . 双曲线
的中心在原点
，焦点在
轴上，且焦点到其渐近线
的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点
的直线
与双曲线的左、右两支分别交于
，
两点，与其渐近线分别交于
，
（从左至右）两点．
①证明：
；
②是否存在这样的直线，使得
，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．（1）求双曲线
的标准方程；（2）过点
的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．①证明：
；②是否存在这样的直线
，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
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2021-07-10更新
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1660次组卷
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10卷引用：四川省资阳市乐至中学2020-2021学年高二下学期“零诊”考试数学试题
四川省资阳市乐至中学2020-2021学年高二下学期“零诊”考试数学试题湖南省娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（已下线）2.3 双曲线（提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（已下线）3.2.1 （分层练）双曲线及其标准方程-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期末重难点突破专题02-【尖子生专用】2021-2022学年高二数学考点培优训练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）2022年全国新高考II卷数学试题变式题13-16题2023版 湘教版(2019) 选修第一册 过关斩将 第3章 专题强化练8 双曲线的综合应用（已下线）2022年全国新高考II卷数学试题变式题20-22题（已下线）第3章《圆锥曲线与方程》 培优测试卷（一）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
名校
3 . 已知椭圆
的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为
的双曲线，设点
在第一象限且在曲线上，直线
与椭圆相交于另一点
.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为
、
，求证
为一定值；
（3）设△
与△
（其中为坐标原点）的面积分别为
与
，且
，求
的取值范围.
的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.（1）求曲线
的方程；（2）设
、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设△
与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
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2019-11-09更新
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1290次组卷
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8卷引用：上海市金山中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学试题
上海市金山中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学试题上海市进才中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题（已下线）上海市金山中学2019-2020学年高二上学期月考数学试题上海市大同中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第三章 圆锥曲线的方程-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）上海实验学校2022届高三冲刺模拟卷三数学试题（已下线）第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）广西壮族自治区南宁市武鸣区武鸣高级中学2023届高三二模理科数学试题
真题
名校
4 . 已知双曲线
，为上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为
，求
的最小值.
，为上的任意点．（1）求证：点
到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点
的坐标为，求的最小值.
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2016-11-30更新
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2120次组卷
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10卷引用：2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）【全国市级联考】上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第二章 第2.6节 综合把关练沪教版(2020) 选修第一册 领航者 第2章 单元测试（二）（已下线）第14讲 双曲线（4）2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第七单元 双曲线 B卷2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第七单元 双曲线 B卷沪教版(2020) 选修第一册 同步跟踪练习 第2章 2.3（2）第1课时 双曲线的几何性质浙江省余姚中学2017-2018学年高二上学期第一次质量检测试题数学（已下线）第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）
