1 . 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.

2 . 已知O为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线C的左支于M，N两点，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（　　）

A．直线被C的两条渐近线所截线段的长度等于C的焦点到渐近线的距离

B．关于C的渐近线的对称点落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上

C．以MN为直径的圆过点B

D．

3 . 已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，.
①求的范围.
②证明：为定值，并计算定值的范围．