1 . 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
(1)求的方程；
(2)若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．

2 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.