1 . 已知抛物线：上一点，直线过与相切，直线过坐标原点与直线平行交于.

（1）求的方程；
（2）与垂直交于，两点，已知四边形面积为，求的方程.

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.

（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点；
（2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.

3 . 已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点.

（1）求的值；
（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的长度为，当直线绕点旋转时，求的最大值.

4 . 已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值.

5 . 设为抛物线：上的两个动点，过分别作抛物线的切线，与轴分别交于两点，且与相交于点，若．

（1）求点的轨迹方程；
（2）求证：的面积为一个定值，并求出这个定值．

6 . 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

7 . 如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.