1 . 点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.

2 . 如图，已知抛物线上的点R的横坐标为1，焦点为F，且，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.

(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：为定值；

3 . 已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，直线过点与抛物线相交于，两点（点位于第一象限）.
(1)求证：为定值；
(2)过点作的平行线与抛物线相交于另一点，求点横坐标的取值范围.

4 . 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．

5 . 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．

6 . 斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点在抛物线C上，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N（M，N不同于点P）两点，且的平分线与y轴垂直，求证：MN的斜率为定值.

8 . 已知抛物线的焦点为，动直线过点且与抛物线交于，两点，且当直线与轴垂直时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)连接，并延长，分别交抛物线于点，，设的面积为，四边形的面积为（其中为坐标原点），求证：是定值，并求出该值.

9 . 在平面直角坐标系中，是抛物线E：上一点.若点M到点的距离､点M到y轴的距离的等差中项是.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点作直线l，交以线段AO为直径的圆于点AB，交抛物线E于点C，D（点B，C在线段AD上）.问是否存在t，使点B，C恰为线段AD的两个三等分点？若存在，求出t的值及直线l的斜率；若不存在，请说明理由.

10 . 已知抛物线：，点在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若直线：交抛物线于M､N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.