1 . 已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且椭圆C的长轴是圆的一条直径.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求的取值范围.

5 . 如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值为，的最小值为，满足.

（1）若线段垂直于轴时，，求椭圆的方程；
（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围.

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

7 . 在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点，是轨迹上相异的两点.
（Ⅰ）过点，分别作抛物线的切线，，与两条切线相交于点，证明：；
（Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值.