1 . 设直线：（）与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．
(1)证明：；
(2)若，求的面积取得最大值时的椭圆方程．

2 . 如图，设是椭圆的左焦点，直线为其左准线，直线与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且．


（1）求椭圆C的标准方程；       
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，
①求的最值；
②求证：四边形的面积为定值．

4 . 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.
（Ⅰ）当时，求的面积
（Ⅱ） 当时，证明：.

5 . 已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，且满足，，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：的面积为定值．

6 . .已知:椭圆的左右焦点为，直线经过交椭圆于两点.

(1)求证:的周长为定值.
(2)求的面积的最大值?

7 . 直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知＝（ax₁，by₁），＝（ax₂，by₂），若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

8 . 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C₁，直线l交C₁于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

9 . 已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．
（1）求证：O到直线AB的距离为定值．
（2）求面积的最大值．

10 . 已知椭圆方程为1，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆于、两点(异于).
（1）求证：直线；
（2）求面积的最大值.