1 . 已知，分别为椭圆E：的左右焦点，其离心率，O为坐标原点，过O作直线l交椭圆于A，B两点，的面积最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点的直线交椭圆E于C，D两个不同的点，且．求的取值范围．

2 . 已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，求面积的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与圆相切，且与椭圆交于两点，求面积的取值范围.

4 . 设为椭圆上的一个动点，分别为椭圆的左、右焦点，分别为过的弦，且
(1)求证：为定值；
(2)求的面积的最大值.

5 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且离心率为，一个顶点为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的两个动点.若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.

6 . 设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：（为原点）为定值．

7 . 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点.
(1)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
(2)过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.

8 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若P点坐标为，过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求面积的最大值．

9 . 已知曲线，点在椭圆上（与左右顶点不重合），直线、斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，且与圆相切于点，直线与相交于两点，记四边形的面积为的面积为，
①用含的式子表示；
②求的最小值．

10 . 已知椭圆的右焦点为，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过右顶点A且斜率为1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.求的面积．