1 . 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作两条斜率为的直线分别交曲线于（异于）两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

2 . 已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线与的斜率之积为．
①证明：直线l过定点．
②求点P到直线l距离的最大值．

5 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点.

6 . 已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.

7 . 已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

8 . 已知过圆C₁：x²+y²＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C₂：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

9 . 已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

10 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．