1 . 已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，点为上一点，且以为直径的圆经过点．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，线段上存在点满足，过与垂直的直线交轴于点，求面积的最小值．

2 . 平面直角坐标系中，动点在圆上，动点（异于原点）在轴上，且，记的中点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的动直线与交于A，B两点.问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线NA，NB的斜率.若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

3 . 在平面中，，.为平面内一动点，且直线与的斜率乘积为，动点在平面的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程
(2)若为直线上任意一点，直线，分别交曲线为、.在直线上存在一点，且.问：在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，，是C的左、右焦点，直线是其右准线，P是l上的一动点，Q点在C上.
(1)求C的方程.
(2)若直线OQ、PQ的斜率之积为，平面内是否存在定点T满足恒成立.若存在求出T的坐标，若不存在说明理由.
(3)若，过P的动直线与C交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H，满足，证明H恒在一条直线上并求出这条直线的方程.

6 . 已知椭圆，点为直线上的一点．
(1)设，过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，记直线的倾斜角分别为，且，求点的坐标．
(2)过作椭圆的切线，切点为，试探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

7 . 如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．

(1)求点H的轨迹的方程；
(2)设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图：已知三点、、都在椭圆上．

(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．

10 . 在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．