1 . 已知，为椭圆的左、右顶点，，为左、右焦点，离心率，为椭圆上的动点，当时，的面积为．
(1)求的方程；
(2)若，为椭圆上异于的点，直线，均与圆相切，记直线，的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

3 . 在直角坐标系上，椭圆的右焦点为，的上、下顶点与连成的三角形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与相交于，两点，问上是否存在点，使得？若存出，求出的方程．若不存在，请说明理由

4 . 已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆E： 的一个焦点F在直线上，过点F与x轴垂直的直线与椭圆E相交于P，H两点，.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l交椭圆E于C，D两点，试探究是否存在定点Q，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知点，，动点P满足直线与的斜率之积为.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过x轴上一点Q且不与坐标轴平行的直线与C交于M，N两点，线段的垂直平分线与x轴交于点R，若，求点Q的坐标.

7 . 若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①椭圆C上存在一点P，使得为钝角
②椭圆C上存在点P，Q，使得四边形为正方形
③P，Q，R为椭圆C上非顶点的三个点，若，则直线OP的斜率与直线QR的斜率的乘积为定值
④P，Q为椭圆C上的两个点，若，则直线PQ与圆相切
其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

9 . 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点.已知为等腰三角形.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，M是直线上的点，满足，求点M的轨迹方程.

10 . 已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，试问：在轴上是否存在定点，使当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.