1 . 已知椭圆
(1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

2 . 如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.

(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

4 . 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．

(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．
(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长；
(2)当时，求直线l的方程；
(3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？

6 . 已知椭圆的右顶点为，短轴长为是椭圆的两个焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P是椭圆C上的点，且，求△的面积；
(3)若过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：与椭圆E相切于点T．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)求椭圆E的标准方程及点T的坐标；
(3)设O为坐标原点，直线l＇平行于直线OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，那么是否存在常数λ，使得？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

8 . 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线的斜率为1时，求的面积；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆，椭圆的长轴长为6，离心率为，为椭圆上一动点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，求的最小值；
(3)已知，椭圆上的两点满足，求直线的方程.

10 . 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.

(1)求的周长；
(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
(3)设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.