1 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

2 . 已知椭圆（，）的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为.
（1）求的方程；
（2）点，在上，且.证明：存在定点，使得到直线的距离为定值.

3 . 已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆的右焦点，是椭圆上位于轴上方的任意一点，过作垂直于的直线交其右准线于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若，求证：直线与椭圆相切；
（3）在椭圆上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为A，右顶点为B.点在椭圆C内，且直线与直线垂直.
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以为直径的圆过点.

6 . 设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.

7 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的动直线与椭圆交于、两点，点在直线上，求证无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点.

8 . 已知椭圆C:（）的左顶点为A，离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线（）与椭圆C交于E，F两点，直线，分别与y轴交于点M，N，求证:在x轴上存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，以为直径的圆都必过点P，并求出点P的坐标.

9 . 已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点.
（1）求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；
（2）过点F任作一条不与x轴重合的直线l，直线l与椭圆交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于点M，N.试证明：以线段为直径的圆恒过点F.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以 为直径的圆都必过点，并求出点的坐标．