2 . 已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，

直线与交于点M.
(1)求椭圆的方程；
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；
(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．

3 . 已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的动点．
（1）若直线的斜率都存在，证明：;
（2）若，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交
于点（异于点）， 求证：，，三点共线．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

5 . 设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以为直径的圆内．

6 . 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：

(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A和B，点M是椭圆上与A、B不重合的动点，且MA、MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点F为椭圆C的右焦点，点R为直线x＝4上的一动点，线段AR与椭圆C交于点P，线段BR的反向延长线与椭圆C交于点Q，证明：P、Q、F三点共线．

8 . 已知椭圆若直线与椭圆相交于两点，且
（1）求证：的面积为定值
（2）在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由．

9 . 已知圆：（，）过点，，椭圆与轴交于、两点，与轴交于，两点．
（1）求四边形的面积；
（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．

10 . 已知椭圆的短轴长为，且其左顶点到右焦点的距离为5．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，在椭圆上，且以为直径的圆经过原点，证明：存在定点，使得到直线的距离为定值．