1 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，且的中点在直线上，点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：．

3 . 设F₁,F₂分别为椭圆C
(1)若椭圆C上的点
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F₁K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k_PM,k_PN时,那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲

4 . 如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.
①求证：直线经过一定点；
②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由．