1 . 已知椭圆C：（）的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于、，且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线、、都具有性质H.

2 . 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程
（2）椭圆C上是否存在不同的两点M,N关于直线对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由.
（3）设直线l不经过点且与C相交于A,B两点，若直线与直线的斜率之和为1，求证直线l必过定点，并求出这个定点坐标.

3 . 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C交于P，Q均在第一象限，直线OP，OQ的斜率分别为，，且（其中O为坐标原点）.证明：直线l的斜率k为定值.

4 . 已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为．
（1）证明：;
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：成等差数列．

5 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.
（1）证明：点恒在椭圆上.
（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.

7 . 定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E₁，E₂，它们的长短半轴长分别为a₁，b₁和a₂，b₂，若满足a₂=a₁^k，b₂=b₁^k（k∈Z，k≥2），则称E₂为E₁的k级相似椭圆，已知椭圆E₁:=1，E₂为E₁的2级相似椭圆，且焦点共轴，E₁与E₂的离心率之比为2：．
（Ⅰ）求E₂的方程；
（Ⅱ）已知P为E₂上任意一点，过点P作E₁的两条切线，切点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．
①证明：E₁在A(x₁，y₁)处的切线方程为=1；
②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

8 . 对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、．
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程．
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求其动点的轨迹方程．
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是与，的左顶点为与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求面积的最大值.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为直线l：上且不在x轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D、O为坐标原点.

（1）求的周长；
（2）设直线的斜线分别为，证明：；
（3）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.