阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：
(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为
，短轴长为
.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为
，求的值；
(2)过点
的直线
（直线斜率不为
）与焦点在
轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆
交于
、
两点，是否存在定点
，使得直线
与
斜率之积为定值，若存在求出
坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图
上任点
处的切线的方程为
.在直线
上任一点
向（2）中的椭圆引切线，切点分别为
，
.求证:直线
恒过定点.
(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为
，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；(2)过点
的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；(3)结论:椭图
上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.
更新时间：2023-02-25 13:20:57
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较难
(0.4)
【推荐1】已知椭圆C：
上、下顶点分别为
，且短轴长为
，T为椭圆上（除外）任意一点，直线
的斜率之积为
，
，
分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点
发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
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【推荐2】欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点
现有一椭圆
，长轴长为
，从一个焦点
发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为该椭圆的左顶点，若斜率为
且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线
，
的斜率分别为
，且满足
．
①证明：直线过定点；
②若
，求的值．
现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知
为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．①证明：直线
过定点；②若
，求的值．
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较难
(0.4)
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【推荐3】阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．试结合，上述事实现象完成下列问题：
（Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x0，y0）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：
，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线lAB恒过定点：
（Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（Ⅱ）结论：椭圆
上任点P（x0，y0）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线lAB恒过定点：（Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：
交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】已知椭圆
的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：与x轴相交于点H，过点A作
，垂足为点D．
(1)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
(2)证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标．
的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：与x轴相交于点H，过点A作，垂足为点D．(1)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
(2)证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标．
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【推荐2】设
分别是椭圆
的左、右顶点，点为椭圆的上顶点．
(1)若
的离心率为
，求的方程；
(2)设
是的右焦点，点是上的任意动点（不在直线
上），求
的面积S的最大值；
(3)设
，点是直线
上的动点，点和
是上异于左、右顶点的两点，且
分别在直线
和
上，求证：直线
恒过一定点．
分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点． (1)若
的离心率为，求的方程；(2)设
是的右焦点，点是上的任意动点（不在直线上），求的面积S的最大值；(3)设
，点是直线上的动点，点和是上异于左、右顶点的两点，且分别在直线和上，求证：直线恒过一定点．
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中，如图所示，已知椭圆
的左、右顶点分别为
的直线
，
与此椭圆分别交于点
，
，其中
，
，
.
，求点
，
，求点
的坐标；
，求证：直线
必过
无关），并求出该定点的坐标.
解答题-问答题
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点
且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线
的斜率与直线的斜率的乘积为定值
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过右焦点，问
轴上是否存在点，使得三角形
为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.（1）求椭圆
的方程；（2）若直线
过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
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【推荐2】已知椭圆
的离心率为
，且左顶点到右焦点的距离为5.
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆上有两点
为坐标原点，且
，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值.
的离心率为，且左顶点到右焦点的距离为5.（1）求椭圆方程；
（2）椭圆上有两点
为坐标原点，且，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值.
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，焦点
.
且斜率为
？说明理由.
【推荐1】已知点
在椭圆
上，直线
与椭圆C交于不同的两点A，B，当
时，
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线
，
分别交y轴于M，N两点，问：y轴上是否存在点Q，使得
，
，
(O为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
在椭圆上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，当时，.（1）求椭圆C的方程；
（2）直线
，分别交y轴于M，N两点，问：y轴上是否存在点Q，使得，，(O为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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(0.4)
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解题方法
【推荐2】已知椭圆
的离心率为
，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线
与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若
，求k的值；
(3)若点Q的坐标为
，求证：
为定值.
的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点. (1)求椭圆C的标准方程；
(2)若
，求k的值；(3)若点Q的坐标为
，求证：为定值.
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：
），过原点的两条直线
和
分别与
.
和
，当
为定值时，求此时直线
内切于菱形
，
满足的关系式.
