1 . 某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”.
(1)证明：事件相互独立；
(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望.

3 . 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标．其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下：

		检测结果					检测结果
序号	品牌名称	不粘性	耐磨性		序号	品牌名称	不粘性	耐磨性
1	品牌1	Ⅰ级	Ⅰ级		7	品牌7	Ⅰ级	Ⅰ级
2	品牌2	Ⅱ级	Ⅰ级		8	品牌8	Ⅰ级	Ⅰ级
3	品牌3	Ⅰ级	Ⅰ级		9	品牌9	Ⅱ级	Ⅱ级
4	品牌4	Ⅱ级	Ⅱ级		10	品牌10	Ⅱ级	Ⅱ级
5	品牌5	Ⅰ级	Ⅰ级		11	品牌11	Ⅱ级	Ⅱ级
6	品牌6	Ⅱ级	Ⅰ级		12	品牌12	Ⅱ级	Ⅱ级

（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
(1)从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率：
(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2个的概率；
(3)顾客甲从品牌中随机选取1个品牌，用“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级，“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级（k=1，4，7，10）．写出方差的大小关系（结论不要求证明）．

4 . 费马大定理又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出．他断言当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程中n的指数，则方程存在正整数解的概率为____________．

5 . 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.
(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；
(2)判断事件与是否相互独立，并证明.

7 . 在如图所示的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”.可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”.设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形中（阴影部分）的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 某超市计划销售某种食品，现邀请甲乙两个商家进场试销10天．两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元．经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图：

(1)现从甲商家试销的销量不小于30件的4天中随机抽取2天，求这两天的销售量之和大于60件的概率；
(2)根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：
（ⅰ）记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的值域Ω；
（ⅱ）证明存在，使得，即X取值k的概率不小于X不取值k的概率．